Vektorverband

Vẹktorverband

 

[v-], Riesz-Raum [riːs-; nach F. Riesz], ein Paar (V, ≦), bestehend aus einem reellen Vektorraum V und einer reflexiven, antisymmetrischen und transitiven Ordnungsrelation ≦ auf V, die mit der Vektorraumstruktur im folgenden Sinne verträglich ist: Für alle x, y, z ∈ V und alle positiven reellen Zahlen a gilt 1) x ≦ y ⇒ x + z ≦ y + z, 2) x ≦ y ⇒ ax ≦ ay, und für je zwei Elemente x und y existieren deren Supremum x ∨ y:sup (x, y) und Infimum x ∧ y:inf (x, y) in V. Sind nur die Eigenschaften 1) und 2) erfüllt, so ist (V, ≦) ein partiell geordneter Vektorraum. Für x ∈ V heißt x⁺:x ∨ 0 der Positivteil, x^-:(—x) ∨ 0 der Negativteil und |x|:x ∨ (—x) der Betrag von x; zwei Elemente x und y heißen disjunkt, falls |x| ∧ |y| = 0, für jedes x ∈ V ist x = x⁺ — x^- die eindeutig bestimmte Darstellung als Differenz zweier disjunkter positiver Elemente und es ist |x| = x⁺ + x^-. Die strukturverträgliche Abbildung T : V → W zwischen partiell geordneten Vektorräumen V und W ist linear und positiv, d. h. T (x) ≧ 0 falls x ≧ 0. Ein Vektorverbandshomomorphismus T : → W zwischen den Vektorverbänden V und W respektiert darüber hinaus die Verbandsstruktur: T (|x|) = |T (x)| für alle x ∈ V. Eine Norm || || auf einem Vektorverband heißt Verbandsnorm, falls aus |x| ≦ |y| folgt ||x|| ≦ ||y||; ein mit einer Verbandsnorm versehener Vektorverband heißt normierter Vektorverband beziehungsweise Banach-Verband, falls er auch vollständig ist (Vollständigkeit). Vektorverbände spielen in der Analysis eine bedeutende Rolle. So ist der Raum C_b (X ) aller beschränkten Funktionen auf einer Menge X bezüglich der Norm ||f ||:sup {|f (x)| / x ∈ X } und der punktweisen Ordnung f ≦g : ⇔ f (x) ≦ g (x) für alle x ∈ X ein Banach-Verband, ebenso der Raum l^∞ aller beschränkten reellen Folgen.